Matemática básica Ejemplos

$\frac{\frac{15}{16 - a} + \frac{16}{a - 16}}{\frac{7}{a} + \frac{9}{a - 16}}$

Paso 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(16 - a) (a - 16) a$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{\frac{15}{16 - a} + \frac{16}{a - 16}}{\frac{7}{a} + \frac{9}{a - 16}}$ por $\frac{(16 - a) (a - 16) a}{(16 - a) (a - 16) a}$ .

$\frac{(16 - a) (a - 16) a}{(16 - a) (a - 16) a} \cdot \frac{\frac{15}{16 - a} + \frac{16}{a - 16}}{\frac{7}{a} + \frac{9}{a - 16}}$

Paso 1.2

Combinar.

$\frac{(16 - a) (a - 16) a (\frac{15}{16 - a} + \frac{16}{a - 16})}{(16 - a) (a - 16) a (\frac{7}{a} + \frac{9}{a - 16})}$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(16 - a) (a - 16) a \frac{15}{16 - a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $16 - a$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $16 - a$ de $(16 - a) (a - 16) a$ .

$\frac{(16 - a) ((a - 16) a) \frac{15}{16 - a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(16 - a) ((a - 16) a) \frac{15}{16 - a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) (a - 16) a \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $a - 16$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $a - 16$ de $(16 - a) (a - 16) a$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (a - 16) ((16 - a) a) \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (a - 16) ((16 - a) a) \frac{16}{a - 16}}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{(16 - a) (a - 16) a \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $a$ de $(16 - a) (a - 16) a$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{a ((16 - a) (a - 16)) \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{a ((16 - a) (a - 16)) \frac{7}{a} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{(16 - a) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.4

Reescribe $16$ como $- 1 (- 16)$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{(- 1 (- 16) - a) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.5

Factoriza $- 1$ de $- a$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{(- 1 (- 16) - (a)) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 16) - (a)$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 (- 16 + a) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.7

Reordena los términos.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 (a - 16) (a - 16) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.8

Eleva $a - 16$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 ({(a - 16)}^{1} (a - 16)) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.9

Eleva $a - 16$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 ({(a - 16)}^{1} {(a - 16)}^{1}) \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 {(a - 16)}^{1 + 1} \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.11

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 1 {(a - 16)}^{2} \cdot 7 + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.12

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) (a - 16) a \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.13

Cancela el factor común de $a - 16$ .

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Paso 3.13.1

Factoriza $a - 16$ de $(16 - a) (a - 16) a$ .

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (a - 16) ((16 - a) a) \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (a - 16) ((16 - a) a) \frac{9}{a - 16}}$

Paso 3.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Factoriza $a$ de $(a - 16) a \cdot 15 + (16 - a) a \cdot 16$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $a$ de $(a - 16) a \cdot 15$ .

$\frac{a ((a - 16) \cdot 15) + (16 - a) a \cdot 16}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 4.1.2

Factoriza $a$ de $(16 - a) a \cdot 16$ .

$\frac{a ((a - 16) \cdot 15) + a ((16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 4.1.3

Factoriza $a$ de $a ((a - 16) \cdot 15) + a ((16 - a) \cdot 16)$ .

$\frac{a ((a - 16) \cdot 15 + (16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (a \cdot 15 - 16 \cdot 15 + (16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 4.3

Mueve $15$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{a (15 \cdot a - 16 \cdot 15 + (16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 4.4

Multiplica $- 16$ por $15$ .

$\frac{a (15 \cdot a - 240 + (16 - a) \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 4.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (15 a - 240 + 16 \cdot 16 - a \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 4.6

Multiplica $16$ por $16$ .

$\frac{a (15 a - 240 + 256 - a \cdot 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 4.7

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$\frac{a (15 a - 240 + 256 - 16 a)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 4.8

Resta $16 a$ de $15 a$ .

$\frac{a (- a - 240 + 256)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 4.9

Suma $- 240$ y $256$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 {(a - 16)}^{2} + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Reescribe ${(a - 16)}^{2}$ como $(a - 16) (a - 16)$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 ((a - 16) (a - 16)) + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 5.2

Expande $(a - 16) (a - 16)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a (a - 16) - 16 (a - 16)) + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a \cdot a + a \cdot - 16 - 16 (a - 16)) + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a \cdot a + a \cdot - 16 - 16 a - 16 \cdot - 16) + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a^{2} + a \cdot - 16 - 16 a - 16 \cdot - 16) + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 5.3.1.2

Mueve $- 16$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a^{2} - 16 \cdot a - 16 a - 16 \cdot - 16) + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $- 16$ por $- 16$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a^{2} - 16 a - 16 a + 256) + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 5.3.2

Resta $16 a$ de $- 16 a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 (a^{2} - 32 a + 256) + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} - 7 (- 32 a) - 7 \cdot 256 + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Multiplica $- 32$ por $- 7$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 7 \cdot 256 + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 5.5.2

Multiplica $- 7$ por $256$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + (16 - a) a \cdot 9}$

Paso 5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + (16 a - a \cdot a) \cdot 9}$

Paso 5.7

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 5.7.1

Mueve $a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + (16 a - (a \cdot a)) \cdot 9}$

Paso 5.7.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + (16 a - a^{2}) \cdot 9}$

Paso 5.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + 16 a \cdot 9 - a^{2} \cdot 9}$

Paso 5.9

Multiplica $9$ por $16$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + 144 a - a^{2} \cdot 9}$

Paso 5.10

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 7 a^{2} + 224 a - 1792 + 144 a - 9 a^{2}}$

Paso 5.11

Resta $9 a^{2}$ de $- 7 a^{2}$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 16 a^{2} + 224 a - 1792 + 144 a}$

Paso 5.12

Suma $224 a$ y $144 a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{- 16 a^{2} + 368 a - 1792}$

Paso 5.13

Reescribe $- 16 a^{2} + 368 a - 1792$ en forma factorizada.

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Paso 5.13.1

Factoriza $16$ de $- 16 a^{2} + 368 a - 1792$ .

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Paso 5.13.1.1

Factoriza $16$ de $- 16 a^{2}$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2}) + 368 a - 1792}$

Paso 5.13.1.2

Factoriza $16$ de $368 a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2}) + 16 (23 a) - 1792}$

Paso 5.13.1.3

Factoriza $16$ de $- 1792$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2}) + 16 (23 a) + 16 (- 112)}$

Paso 5.13.1.4

Factoriza $16$ de $16 (- a^{2}) + 16 (23 a)$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + 23 a) + 16 (- 112)}$

Paso 5.13.1.5

Factoriza $16$ de $16 (- a^{2} + 23 a) + 16 (- 112)$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + 23 a - 112)}$

Paso 5.13.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.13.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 112 = 112$ y cuya suma es $b = 23$ .

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Paso 5.13.2.1.1

Factoriza $23$ de $23 a$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + 23 (a) - 112)}$

Paso 5.13.2.1.2

Reescribe $23$ como $7$ más $16$

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + (7 + 16) a - 112)}$

Paso 5.13.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a^{2} + 7 a + 16 a - 112)}$

Paso 5.13.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.13.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{a (- a + 16)}{16 ((- a^{2} + 7 a) + 16 a - 112)}$

Paso 5.13.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{a (- a + 16)}{16 (a (- a + 7) - 16 (- a + 7))}$

Paso 5.13.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- a + 7$ .

$\frac{a (- a + 16)}{16 ((- a + 7) (a - 16))}$

$\frac{a (- a + 16)}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $- a + 16$ y $a - 16$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $- 1$ de $- a$ .

$\frac{a (- (a) + 16)}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Paso 6.1.2

Reescribe $16$ como $- 1 (- 16)$ .

$\frac{a (- (a) - 1 (- 16))}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Paso 6.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (a) - 1 (- 16)$ .

$\frac{a (- (a - 16))}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Paso 6.1.4

Reescribe $- (a - 16)$ como $- 1 (a - 16)$ .

$\frac{a (- 1 (a - 16))}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Paso 6.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{a (- 1 (a - 16))}{16 (- a + 7) (a - 16)}$

Paso 6.1.6

Reescribe la expresión.

$\frac{a \cdot (- 1)}{16 (- a + 7)}$

Paso 6.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{- 1 \cdot a}{16 (- a + 7)}$

Paso 6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{a}{16 (- a + 7)}$

Paso 6.3

Factoriza $- 1$ de $- a$ .

$- \frac{a}{16 (- (a) + 7)}$

Paso 6.4

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$- \frac{a}{16 (- (a) - 1 (- 7))}$

Paso 6.5

Factoriza $- 1$ de $- (a) - 1 (- 7)$ .

$- \frac{a}{16 (- (a - 7))}$

Paso 6.6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.6.1

Reescribe $- (a - 7)$ como $- 1 (a - 7)$ .

$- \frac{a}{16 (- 1 (a - 7))}$

Paso 6.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- - \frac{a}{16 (a - 7)}$

Paso 6.6.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{a}{16 (a - 7)}$

Paso 6.6.4

Multiplica $\frac{a}{16 (a - 7)}$ por $1$ .

$\frac{a}{16 (a - 7)}$